li strona domowa Marii Mędrzyckiej (w budowie)

Geometria trójkątów - twierdzenie Talesa

Tw. Talesa - zadania

  1. Dwie równoległe proste a i b przecinają ramiona kąta O odpowiednio w punktach A, B, A', B' (A i B leżą na jednym ramieniu). a) wyznaczyć OA, gdy OA' = 3cm, OB = 8cm, OB' = 11,5cm. b) wyznaczyć AB, gdy OA = 4,5cm, A'B' = 6cm, OB' = 9 1/3cm. c) wyznaczyć OB, gdy OA' + OB' = 15cm, OA = 3cm, OA' : OA = 2.
  2. W trapezie ABCD, w którym AB || CD, przedłużono boki BC i AD do przecięcia w punkcie O. Wyznaczyć OC, gdy AD = 4cm, OD = 5cm, BC = 4 1/3cm.
  3. W trójkącie ABC poprowadzono prostą DE równoległą do boku BC, dzielącą bok AC na odcinki długości |AD| = 3cm, |DC| = 6cm. Bok BC jest o 2cm dłuższy od odcinka DE. Oblicz długość boku BC.
  4. W trójkącie ABC rzuty boków AC i BC na bok AB wynoszą 11cm i 24cm. Długość boku BC wynosi 45cm. Na jakie części dzieli ten bok symetralna boku AB? Czy w zadaniu możliwy jest tylko jeden przypadek?
  5. Boki trójkąta ABC mają długości 5cm, 6cm, 7cm. Oblicz długość odcinków, na jakie dwusieczne kątów podzieliły boki przeciwległe.
  6. W trójkącie ABC dwa boki mają długości 10cm i 7cm. Oblicz długość trzeciego boku wiedząc, że odcinki AD i BD wyznaczone przez dwusieczną CD kąta C na boku AB różnią się o 2cm.
  7. W trójkącie ABC dwa boki mają długości 8cm i 11cm, a jeden z odcinków, na które dwusieczna kąta C dzieli bok AB jest równy jednemu z boków. Wyznaczyć trzeci bok trójkąta ABC.
  8. Obwód trójkąta ABC wynosi 20cm, a dwusieczna kąta wewnętrznego C dzieli bok AB na odcinki |AD| = 3cm i |DB| = 5cm. Wyznaczyć boki trójkąta ABC.
  9. Przekątne trapezu ABCD (AB||CD) przecinają się w punkcie S. Prosta równoległa do podstaw i przechodząca przez punkt S przecina boki AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Udowodnij, że S jest środkiem odcinka MN.
  10. Udowodnij, że długość odcinka łączącego środki ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.
  11. Wiadomo, że jedna z podstaw trapezu jest trzy razy dłuższa od drugiej. Udowodnij, że odcinek łączący środki ramion został podzielony przez przekątne trapezu w stosunku 1 : 2 : 1.
  12. W trójkącie ABC wysokość CD wynosi 20cm, a długość boku AB jest równa 16cm. W jakiej odległości od boku AB należy poprowadzić prostą równoległą do boku AB, aby długość odcinka wyznaczonego punktami przecięcia z bokami AC i B stanowiła 0,75 wysokości CD.
  13. Dowieść, że środkowa boku BC w trójkącie ABC jest miejscem geometrycznym środków odcinków równoległych do BC, zawartych między bokami AB i AC.
  14. W trójkąt równoboczny wpisano kwadrat o polu 3 tak, że dwa wierzchołki kwadratu leżą na jednym boku trójkąta, a dwa na pozostałych bokach. Obliczyć bok trójkąta.
  15. W trójkącie równobocznym o boku a wpisano kwadrat tak, że dwa wierzchołki kwadratu leżą na jednym boku trójkąta, a dwa na pozostałych bokach. Obliczyć pole tego kwadratu.
  16. Podsstawy trapezu mają długości 3 i 7 a jego pole wynosi 25cm². Obliczyć:
    a) odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszej podstawy
    b) długość odcinka przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych i równoległego do podstaw.
  17. Dane są podsstawy trapezu a i b oraz jego wysokość h. Obliczyć:
    a) odległość punktu przecięcia przekątnych od obu podstaw
    b) długość odcinka przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych i równoległego do podstaw.
  18. W trójkącie ABC wysokość CD wynosi 5cm, AD = 4cm, DB = 8cm. Obliczyć długość odcinka równoległego do CD, którego końce leżą na bokach trójkata i który dzieli trójkąt ABC na dwie figury o równych polach.

Tw. odwrotne do tw. Talesa - zadania

  1. Na jednym ramieniu kąta o wierzchołku S leżą punkty M i N, a na drugim K i L. W oparciu o twierdzenie odwrotne do tw. Talesa sprawdź, czy proste MK i NL są równoległe, gdy:
    a) |SM| = 3 |SK| = 6 |MN| = 0,75 |KL| = 1,5
    b) |SN| = 2,4 |MN| = 2 |SK| = 3 |SL| = 6
  2. W trójkącie ABC, w którym punkt E należy do boku AC i punkt F do boku BC poprowadzono prostą EF. Sprawdź czy prosta EF jest równoległa do boku AB, jeżeli |AC| = 8; |EC| = 3,6; |FB| = 2,7; |CB| = 6.

Zadania konstrukcyjne z zastosowaniem tw. Talesa

  1. Dany odcinek a podziel konstrukcyjnie na dwa odcinki, których stosunek jest równy:
    a) 1 : 2
    b) 1 : 4
    c) 2/3
    d) 1 i 1/3
    e) 5
  2. Dane są trzy odcinki a, b, c. Podziel odcinek a na 2 części proporcjonalnie do danych odcinków a, b.
  3. Dany jest trójkąt ABC. Podziel konstrukcyjnie na 3 równe części bok AB tego trójkąta. Punkty podziału oznacz literami K i L, i połącz je z wierzchołkiem C. Co możesz powiedzieć o trójkątach AKC, KCL i LKC? Uzasadnij.
  4. Zbuduj trójkąt równoboczny, którego obwód jest równy odcinkowi n.
  5. Narysuj dowolny trójkąt równoboczny i podziel go konstrukcyjnie na 5 trójkątów o równych polach. Uzasadnij poprawność konstrukcji.
  6. Zbuduj trójkąt równoramienny, którego obwód jest równy danemu odcinkowi m, a długość podstawy w tym trójkącie ma się tak do ramienia jak 3:2.
  7. Dane są odcinki a, b, c. Wyznacz konstrukcyjnie odcinek x taki, że:
    a) a:b=c:x
    b) a:x=b:c
    c) a · b = c · x
    d) a ² = x · b
    e) x = a ² · (a + b)

Zadania "życiowe"

  1. Oblicz wysokość Wieży Wiatrów w Atenach, jeżeli długość jej cienia wynosi 10m i w tym samym czasie tyczka długości 3,9m, ustawiona pionowo rzuca cień długości 3m.
  2. Dłuższe ramię szlabanu kolejowego ma 4m, a krótsze 0,8m. O ile metrów podniesie się dłuższe ramię szlabanu, gdy krótsze opuści się o 0,5m?
  3. Oblicz wysokość drzewa, jeżeli cień tego drzewa wynosi 10,8m, a cień jego korony wynosi 7,8m. Najniższe gałęzie zaczynają się na wysokości 1,5m od ziemi.
  4. Dom o szerokości 10m sfotografowano aparatem, w którym odległość między soczewką a kliszą wynosi 12cm i otrzymano obraz o szerokości 6cm. Jak daleko od domu był umieszczony aparat fotograficzny?
  5. Drabina murarska dwuramienna o długości 5m została rozstawiona na szerokość 8m. O ile metrów trzeba zmniejszyć rozstawienie tej drabiny, żeby sięgnęła ona wysokości 4m?
  6. Na brzegu prostokątnego basenu o boku |AB| = 70m znajdowali się dwaj ratownicy. Jeden stał na boku prostopadłym do boku AB w odległości 60m od A, drugi na przeciwległym boku w odległości 10m od B. Na boku AB bawiło się dziecko, które nagle wpadło do wody i zaczęło tonąć. Spostrzegli to ratownicy i zaczęli jednocześnie płynąć na pomoc. Płynąc z jednakową szybkością jednocześnie dopłynęli do dziecka i wyratowali je. W jakiej odległości od punktu A wpadło dziecko do basenu?

Zadania powtórzeniowe do poprawy

  1. W trójkącie ABC mamy dane: |AC| - 12cm, |BC| - 15cm, kąt ACB jest prosty. Prosta równoległa do AC przecina bok AB w punkcie E, bok BC w punkcie D i jest oddalona od prostej AC o 5cm. Oblicz pole trapezu ACDE.
  2. Kwadrat A'B'C'D' jest obrazem kwadratu ABCD w jednokładności o skali 3. Pole kwadratu A'B'C'D' wynosi 9cm2. Jaką długość ma bok kwadratu ABCD?
  3. Podstawy trapezu są równe 10cm i 40cm, a jego pole wynosi 120cm2. Oblicz pole trójkąta dobudowanego do trapezu przez przedłużenie jego ramion.
  4. W trójkąt równoramienny o podstawie 3cm i wysokości 6cm wpisano kwadrat, którego dwa wierzchołki leżą na podstawie, a dwa na ramionach trójkąta. Oblicz długość boku kwadratu.
  5. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki długości |AD| = 3cm, |DB| = 5cm. Bok BC ma 7cm. Na jakie odcinki zostanie podzielony bok BC symetralną boku AB?
  6. Na boku AB trójkąta ABC obrano punkt D tak, że |AD| : |DB| = 3 : 4. Proste równoległe do BC i AC, przechodzące przez punkt D, przecinają boki AC i BC odpowiednio w punktach E i F. Oblicz stosunki |AB| : |DB|; |BF| : |CF|; |CE| : |AC|.
  7. Kąt A'OB' jest przecięty prostymi AB i A'B'. Czy proste AA' i BB' są równoległe, jeśli |OA'| = 6, |OA| = 1, |A'B'| = 2,5, |AB| = 15?
  8. W trapezie prostokątnym ABCD: kąt DAB = kąt ADC = 90 °, podstawy |AB| = 8,4 cm, |DC| = 2,4 cm, a ramię |AD| = 2 cm. Punkt E jest punktem przecięcia się prostych AD i BC.
    a) oblicz długość odcinka AE;
    b) oblicz pole trójkąta EDC.
  9. W trapezie prostokątnym ABCD: kąt BAD = kąt ADC = 90 °, podstawy |AB| = 5 cm, |DC| = 3,5 cm. Punkt E jest punktem przecięcia się prostych AD i BC i odcinek AE ma długość 8 cm.
    a) oblicz długość odcinka DE;
    b) oblicz pole trójkąta DCE.
  10. Dane są odcinki o długościach a i b (a ≠ 0, b ≠ 0). Skonstruuj odcinek o długości x, taki że a : x = (a + b) : b. Opisz wykonaną konstrukcję.
  11. Dane są odcinki o długościach a i b (a ≠ 0, b ≠ 0). Skonstruuj odcinek o długości x, taki że a : (a + b) = b : x. Opisz wykonaną konstrukcję.
  12. Zbuduj trójkąt równoramienny, którego obwód jest równy danemu odcinkowi m, a długość podstawy w tym trójkącie ma się tak do ramienia
    jak 3 : 2.
  13. Dany jest kąt ostry AOB i punkt P należący do wnętrza tego kąta. Skonstruować trójkąt równoramienny PQR taki, że: Q należy do OB, R należy OA, |RQ| = |PQ| i RQ jest prostopadły do OA.
  14. W dany trójkąt ABC wpisz prostokąt tak, aby wszystkie jego wierzchołki leżały na bokach trójkąta i aby jego boki pozostawały w stosunku 1 : 2.
  15. Dany jest trapez ABCD (AB || CD). Oblicz pola trójkątów ABO, COD, AOD wiedząc, że O jest punktem przecięcia się przekątnych. Ponadto wiemy, że |AB| = 20cm, |DC| = 80cm a wysokość trapezu h = 20cm.
  16. Dany jest trapez ABCD (AB || CD). Oblicz pola trójkątów AOB i AOD wiedząc, że O jest punktem przecięcia się przekątnych oraz, że |AB| = 40cm, |DC| = 10cm a pole trójkąta DOC wynosi 20cm2.
  17. Dany jest trapez ABCD (AB || CD). Oblicz pola trójkątów COD i AOD wiedząc, że O jest punktem przecięcia się przekątnych oraz, że |AB| = 40cm, |DC| = 10cm a pole trójkąta ABO wynosi 80cm2.
  18. Dany jest trapez ABCD (AB || CD). Oblicz pola trójkątów ABO, COD, AOD wiedząc, że O jest punktem przecięcia się przekątnych. Ponadto wiemy, że przekątna |DB| = 14cm, podstawa |DC| = 50cm, wysokość trapezu h = 21cm, a punkt O dzieli przekątną stosunku 2 : 5.
  19. Odcinki AA', BB', CC' są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC i przecinają się w punkcie H. Z punktu A' poprowadzono prostopadłe do AB i AC otrzymując odpowiednio punkty M i N na bokach trójkąta. Wypisz cztery pary odcinków występujących w tym trójkącie, których stosunki są równe AA' : AH.
  20. Odcinki AA', BB', CC' są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC i przecinają się w punkcie H. Z punktu B' poprowadzono prostopadłe do AB i BC otrzymując odpowiednio punkty K i L. Wypisz wszystkie pary odcinków występujących w tym trójkącie, których stosunki są równe BB' : BH.
  21. Boki trójkąta ABC mają długości |AC| = 5cm, |AB| = 6cm, |BC| = 7cm. Oblicz długość odcinków, na jakie dwusieczna kąta ACB podzieliła bok AB.
  22. W trójkącie ABC bok |AC| = 10cm, a bok |BC| = 7cm. Oblicz długość trzeciego boku wiedząc, że odcinki AD i BD wyznaczone przez dwusieczną CD kąta C na boku AB różnią się o 2cm.
  23. Wiadomo, że jedna z podstaw trapezu jest trzy razy dłuższa od drugiej. Udowodnij, że odcinek łączący środki ramion został podzielony przez przekątne trapezu w stosunku 1 : 2 : 1.
  24. Wiadomo, że jedna z podstaw trapezu jest cztery razy dłuższa od drugiej. Udowodnij, że odcinek łączący środki ramion został podzielony przez przekątne trapezu w stosunku 1 : 3 : 1.
  25. Wiadomo, że podstawy trapezu mają się jak 2 : 3. Udowodnij, że odcinek łączący środki ramion został podzielony przez przekątne trapezu w stosunku 2 : 1 : 2.
  26. Boki trójkąta ABC mają długości 5cm, 6cm, 7cm. Oblicz długość odcinków, na jakie dwusieczne kątów podzieliły boki przeciwległe.